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マストドンはローカルタイムラインすら満足に取得できないから，一時的な避難所にはなり得ても移住先にはなり得ないんだよな．

Toposes and Local Set Theories...

Toposes and Local Set Theories の局所集合論のところを読んでた．Bellのこの本はわりとギッチギチに書かれてるので，紙のノートに例示を書き出しながらゆるく読んでいる．

100億年ぶりに mathtodon に来た．

100億年ぶりに mathtodon に来た．

Twitterが終了するらしいからこっちを覗くようにするか．

Twitterが終了するらしいからこっちを覗くようにするか．

超準解析PDFの議論構成がぶっこわれたので修復を試みる

超準解析PDFの議論構成がぶっこわれたので修復を試みる

【系】$\mathrm{card}(X)\ge 3$かつ$Y \not= \varnothing$とする．このとき，$\mathrm{Map}(X,Y)$は推移的集合ではない．

【系】$\mathrm{card}(X)\ge 3$かつ$Y \not= \varnothing$とする．このとき，$\mathrm{Map}(X,Y)$は推移的集合ではない．

証明を眺めると，仮定を緩めて「$\mathrm{card}(X)\ge 3$かつ$Y \not= \varnothing$」で行けますね．

証明を眺めると，仮定を緩めて「$\mathrm{card}(X)\ge 3$かつ$Y \not= \varnothing$」で行けますね．

【証明】$f\in \mathrm{Map}(X,Y) \cap \mathscr{P}\left( \mathrm{Map}(X,Y)\right)$と仮定する．$f\subseteq...

【証明】
$f\in \mathrm{Map}(X,Y) \cap \mathscr{P}\left( \mathrm{Map}(X,Y)\right)$と仮定する．$f\subseteq \mathrm{Map}(X,Y)$だから：
$$\forall \langle x,y \rangle \in f \quad\langle x, y \rangle \in \mathrm{Map}(X,Y).\quad(*)$$
$\langle x,y \rangle = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace x, y\rbrace\rbrace$なので$\mathrm{card}(\langle x, y \rangle) \le 2$
一方，任意の$g\in\mathrm{Map}(X,Y)$に対して，$X$が無限集合という仮定から，
$$\mathrm{card}(g) = \mathrm{card}(X) > 2 .$$
よって$(*)$は成立しえない．よって所期の命題が成立する．

なんとなく言えそうだなぁと思っていたけどいま扱っている集合の特殊な構造に依存せずになりたつことがわかったので一般形で言える：【命題】$X,Y$を無限集合とする．このとき：$$\mathrm{Map}(X,Y)...

なんとなく言えそうだなぁと思っていたけどいま扱っている集合の特殊な構造に依存せずになりたつことがわかったので一般形で言える：

【命題】$X,Y$を無限集合とする．このとき：
$$\mathrm{Map}(X,Y) \cap \mathscr{P}\left( \mathrm{Map}(X,Y)\right) = \varnothing.$$

中沢新一が超準解析に言及してるとのことでその記事が読みたかったわけ．

中沢新一が超準解析に言及してるとのことでその記事が読みたかったわけ．

「現代思想　2018/1」号買ってきた

「現代思想　2018/1」号買ってきた

斎藤超準解析での宇宙の定義(1)$U$は推移的；つまり$\forall x,y\:\:(x\in y \in U \implies x \in U).$(2)$x,y\in U \implies...

斎藤超準解析での宇宙の定義
(1)$U$は推移的；つまり
$\forall x,y\:\:(x\in y \in U \implies x \in U).$
(2)$x,y\in U \implies \{x,y\}\in U.$
(3)$x\in U \implies \bigcup x \in U.$
(4)$x\in U \implies \mathscr{P}(x)\in U.$

空集合が原子ではないということを理解するのに時間がかかった．

空集合が原子ではないということを理解するのに時間がかかった．

原子を持つ宇宙について完全に理解した

原子を持つ宇宙について完全に理解した

和集合とべき集合を追加して，なおかつ$\varnothing \in U - S$とすると収まりがよい．

和集合とべき集合を追加して，なおかつ$\varnothing \in U - S$とすると収まりがよい．

Davis だと和集合とべき集合が足りないと思うんだよね．

Davis だと和集合とべき集合が足りないと思うんだよね．

M. Davis "Applied Nonstandard Analysis" での「原子の集合$S$を持つ」宇宙$U$の定義(1) $\varnothing\in U$(2) $S...

M. Davis "Applied Nonstandard Analysis" での「原子の集合$S$を持つ」宇宙$U$の定義

(1) $\varnothing\in U$
(2) $S \subseteq U$
(3) $x,y \in U \implies \{x,y\}\in U$
(4) $\forall x,y \:\:(x \in y \land y \in U-S \implies x \in U)$

どうも空集合は「相対的原子」じゃないらしい．

どうも空集合は「相対的原子」じゃないらしい．

つぎの話題．$U$が「相対的原子」を持つ場合．

つぎの話題．$U$が「相対的原子」を持つ場合．

分出が言えると，例えば$x,y\in U$に対して$x \times...

分出が言えると，例えば$x,y\in U$に対して$x \times y$だの$\mathrm{Map}(x,y)$だのは自動的に$U$に属することが言える．