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多頭Transformerのベクトル分割$$x[1, n] = (E^n \parallel O^n)x, \quad x \in \mathbb{R}^{2n}$$一般には$$x[(m-1)n, mn]=...

多頭Transformerのベクトル分割

$$
x[1, n] = (E^n \parallel O^n)x, \quad x \in \mathbb{R}^{2n}
$$

一般には

$$
x[(m-1)n, mn]= (\underbrace{\cdots \parallel O^n}_{m\text{ 個}} \parallel E^n \parallel \underbrace{O^n \parallel \cdots }_{h-m-1 \text{ 個}})x, \quad x \in \mathbb{R}^{hn}
$$

到達可能性関数は $d \colon W \times W \to [0, 1]$...

到達可能性関数は $d \colon W \times W \to [0, 1]$ として定義され、これはすなわち作品間の類似度に他ならない。

つまり autographic なフレームにおいては、$Π$ から $W$ への全単射が存在する。

つまり autographic なフレームにおいては、$Π$ から $W$ への全単射が存在する。

ただし、$χ$ は単射な連続関数である。この命題 $p_i$ は、$i ∈ \mathbb{R}$...

ただし、$χ$ は単射な連続関数である。この命題 $p_i$ は、$i ∈ \mathbb{R}$ であり、その附値関数は、$v(p_i(w_j)) = \delta_{ij}$ として定義される。

autographic な芸術範疇（絵画）は、実数濃度の世界を持つ世界フレームである（allographic...

autographic な芸術範疇（絵画）は、実数濃度の世界を持つ世界フレームである（allographic は有限個）。つまり、あらゆる世界の間には必ず別の世界が存在する。ここで、$|Π| = ℵ_1$ なる命題の集合 $Π = \{ p_0, p_1, \dots \}$ を定める。命題 $p_i$ は「記号甲は音高 $χ(i)$ をもつ」という文である。

Goodman の存在論的な allographic／autographic...

Goodman の存在論的な allographic／autographic という区分は、世界フレームを用いて記述できる。つまり、allographic は離散的な到達可能性を、autographic は連続的な到達可能性をもつフレームである。到達可能性が連続的であるとは、連続関数であることと同じである。

Kripke 構造は重み無しグラフであるから推移律が云々という話になるのであって（$𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑏𝑅𝑐...

Kripke 構造は重み無しグラフであるから推移律が云々という話になるのであって（$𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑏𝑅𝑐 ⇒ 𝑎𝑅𝑐$ であるのは $𝑟(𝑎𝑅𝑏) × 𝑟(𝑏𝑅𝑐) = 1$ であるから。$𝑟 : 𝑊 × 𝑊 → 𝔹$ ）、到達可能性に $[0, 1]$ を値域とする距離関数を附値すれば〈類似性〉概念を扱えるようになるはずだ。

正射影作用素 $p_W$とは線形空間 $V$ から $V$ の部分空間 $W = \langle w_1, w_2, \dots, w_m \rangle$...

正射影作用素 $p_W$とは線形空間 $V$ から $V$ の部分空間 $W = \langle w_1, w_2, \dots, w_m \rangle$ への写像であり、次で定義される。

$$
p_W \colon v \in V \mapsto \sum_{i=1}^m\ \langle v, w_i \rangle w_i
$$

$V = \langle (1, 0), (0, 1)\rangle$ から $W =\langle (\cos{\theta}, \sin{\theta}), (-\sin{\theta}, \cos{\theta})\rangle$...

$V = \langle (1, 0), (0, 1)\rangle$ から $W =\langle (\cos{\theta}, \sin{\theta}), (-\sin{\theta}, \cos{\theta})\rangle$ への正射影作用素を $p_{W}$ とおくと、重力ベクトル $\mathbf{g} = (0, -g)$（$g$ は正のスカラー量）の正射影 $p_{W}(\mathbf{g})$は

$$
\begin{align}
p_{W}(\mathbf{g})
&= \sum_{k=1}^2 (\mathbf{g}, \mathbf{w}_k)\mathbf{w}_k \\
&= -g\sin{\theta}\ \mathbf{w}_1 - g\cos{\theta}\ \mathbf{w}_2
\end{align}
$$

高校物理で頻出する斜面方向の力、線形代数の正射影作用素の一部だったのか。

高校物理で頻出する斜面方向の力、線形代数の正射影作用素の一部だったのか。

遷移確率行列 $P$ について，次が成り立つ．$$P\ \mathbf{1} =...

遷移確率行列 $P$ について，次が成り立つ．

$$
P\ \mathbf{1} = \mathbf{1}
$$

このことから，一般に遷移確率行列は固有値 1 と固有ベクトル $\mathbf{1}$ を持つことが分かる。

アフィン変換 $f$ を次のように定める。$$z = Ax + b$$このとき、ヤコビ行列 $J(f)$ は$$J(f) = \frac{\partial...

アフィン変換 $f$ を次のように定める。

$$
z = Ax + b
$$

このとき、ヤコビ行列 $J(f)$ は

$$
J(f) = \frac{\partial z}{\partial x} = A
$$

である。

アフィン変換のヤコビ行列は単に行列なのか

$n$ 次元ユークリッド空間が連続体濃度をもつことを示すには，写像 $f \colon (0, 1) \to (0, 1)^n$...

$n$ 次元ユークリッド空間が連続体濃度をもつことを示すには，写像 $f \colon (0, 1) \to (0, 1)^n$ が全単射であることを示せばよい．いま $a = 0.a_1 a_2 \dots \in (0, 1)$ とおくと

$$
x_1 = 0.a_1a_n \dots \\
x_2 = 0.a_2a_{n+1} \dots \\
\vdots \\
x_n = 0.a_na_{2n} \dots \\
$$

ベクトル $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ は $(0, 1)^n$ の元である．明らかに $f$ は全単射である．

行列 $A$ の固有空間は不変部分空間であり、もしその固有空間の固有値が $1$...

行列 $A$ の固有空間は不変部分空間であり、もしその固有空間の固有値が $1$ であるならば、その不変部分空間上の点はすべて行列 $A$ に関する不動点である。

$$\phi[T] \colon u \mapsto S$$である。$T$ によって写像に含まれる $u$ および $S$...

$$
\phi[T] \colon u \mapsto S
$$

である。$T$ によって写像に含まれる $u$ および $S$ の意味が変わるということを多相性として表現しているのである。

モチベーションは応用記号論は別に各理論の差はどうでもいい

$u$ を発話，$S$ を命題とすると発話の解釈関数は次で表せる。\[u \mapsto \langle S, f...

$u$ を発話，$S$ を命題とすると発話の解釈関数は次で表せる。
\[
u \mapsto \langle S, f \rangle
\]
このとき，二項の順序対 $\langle u, S\rangle \in Sa \times Se$ （$Sa$ は記号表示，$Se$ は記号内容）は命題記号に他ならない。

Frege...

Frege のいう〈発話の力〉の威力は、平叙文はもちろんのこと、疑問文や命令文さえも命題に変換可能であることを示した点にあるだろう。我々は以下の写像により、発話トークン $u$ から命題 $S$ を抽出できる：

$$
u \mapsto \langle f, S \rangle
$$

ただし、$f$ は力である。

...

反論。存在論的コミットメントにおいて述語を量化できないことはクワインにより示されている。したがって、本論は成立しない。

https://plato.stanford.edu/entries/ontological-commitment/#SecOrdLan

我々は抽象原理を受け入れるとする。すなわち、我々は次の文を真とする。$$\forall \Sigma \exists R; \Sigma(a)...

我々は抽象原理を受け入れるとする。すなわち、我々は次の文を真とする。

$$
\forall \Sigma \exists R; \Sigma(a) = \Sigma(b) \iff Rab
$$

ただし、$R$ は同値関係である。

ここで、存在論的コミットメントの規準の「束縛変項」を「束縛個体変項」のみならず「束縛述語変項」を含むものと読み替える。すなわち、存在論的コミットメントの規準を二階述語論理まで拡張する。
すると、上式の束縛述語変項である $\Sigma$ が存在することが帰結する。$\Sigma$ は、たとえば数や形である。したがって、我々が抽象原理を受け入れるならば、数や形は存在しなければならない。